ÇARPANLARA AYIRMA

ÇARPANLARA AYIRMA, ÇARPANLARA AYIRMANIN ÖZELLİKLERİ (1) İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR)

Bir Polinom ifadenin daha düşük dereceli ifadelerin çarpım şeklinde yazılmasına çarpanlara ayrıma denir Çarpanlara Ayırma denir.

 Çarpanlara Ayırma rasyonel ifadelerin sadeleşmesine ve denklem çözümlerinin çok kullanıldığı bir işlemdir.Çarpanlara ayırmada ilk adım çarpanların toplama üzerinde dağılma özelliğinden faydalanarak EBOÇ (En Büyük Ortak Çarpan ) kullanmaktır.İki yada daha fazla üstel ifade verildiğinde bunların üsleri veya tabanları aynı olması halinde EBOÇ kullanılır

    için EBOÇ =  dür

için EBOÇ = a dır

Ör :   27 için bulunması için ;

               Polinom ifadelerinin bazıları ise  GRUPLANDIRILARAK çarpanlara ayrılabilir.

 ifadesini ele alırsak ;  ilk iki ile son iki terimlisi gruplandırılmalı.  her grup içinde EBOÇ bulunmalı.

=(2y-7).(3 -2)

               3 terimli Polinom ifadelerinde deneme yöntemi ile çarpanlara ayrıma yapılır.

Ör    :      

 in çarpanlarına ayırmada dikkat edilecek hususlar ;

  1-) c sabiti dağılma özelliği iki terimlinin sabitlerinin çarpımından gelir.  2-)b katsayısı iki terimlideki sabitlerin toplamıdır.  3-)c pozitif ise, iki terimlideki sabitler aynı işaretlidir.

  4-) c negatif ise, iki terimlideki sabitler ters işaretlidir.b`nin önündeki önündeki işaret ise mutlak değerce büyük olan sabitin işaretidir.

 Örnek  ;  ifadesini çarpanlara ayırınız.

      Çözüm:    Burada uygulanacak yöntem ; -18’in çarpanlarını bularak bunlardan hangi ikisinin toplamının +7 verdiğini bulmaktır. Bu ise -2 ve +9 ‘un toplamıdır.

                           (x-2).(x+9)

 ‘nin çarpanlara ayrılmasında dikkat edilecek hususlar ;

  • Üç  terimlinin sabit terimi pozitif ise iki terimlinin sabit terimleri aynı işaretli olup bu işaret aynı zamanda b’ninde işaretidir
  • Üç terimlinin sabit teriminin sabit işareti negatif ise iki terimlilerin sabit terimlilerin sabitleri ters işaretleridir.
  • Üç terimli ifadenin terimlerinin ortak çarpanı yoksa , iki terimlilerinde ortak çarpanı yoktur.   

Örnek ;          ifadesinin çarpanlarına ayırınız.

           Çözüm :  Sabit terim +4 olup, çarpanlarına ayırdığımız zaman oluşan iki terimlilerin sabit terimleri aynı aynı işaretli oldukları anlaşılır. b = -11 olduğu için her ikisininde (-) olduğuna karar verilir

                     ’ çarpanlar                          4’ün çarpanları 

 

                   x                  6x                            -1                   -4

                 2x                  3x                            -2                   -2

Bu çarpanlarda doğru orta terim bulmaya çalışılır.

Denen  Çarpanlar                                Ortadaki  Terim

 

    (x-1).(6x-4)                                         6x ile 4’ün ortak çarpanı var. 

    (x-4).(6x-1)                                          -x-24 = -25x                                                     

    (x-2).(6x-2)                                          6x  ile 2’nin ortak çarpanları var

    (2x-1).(3x-4)                                         -8x-3x =-11x   ->  Doğru Orta Terim

                  o halde

DİKKAT :Bazı durumlarda bir bir polinomu iki polinomun (tam katsayılı) çarpımı şeklinde ifade etmek mümkün olmayabilir. Örneğin  tam sayılarda çarpanlara ayrılamaz.Çünkü 7 sayının çarpanlarının toplamının veya farkı üç sayısını veremez.

 

Çarpanlara Ayırma Teoremi:

Üç terimli polinomlarda tamsayı katsayıları a,b,c olmak üzere, şayet  tam kare ise bu üç terimli iki terimlinin çarpımı halinde yazılabilir.

Örnek :  ifadelerini çarpanlarına ayırınız.

Çözüm  :  a = 6    b = -5  c = -4

                 25-4(6)(-4)=121        121 tam kare olduğundan çarpanlarına ayrılabilir.

’nin çarpanları         -4’ün çarpanları                              

x                      6x                +4                 -1                    =       2x          3x          2x         3x

2x                    3x                 -4                +1                             4               1           4           1

                                                                                                 12x          2x        +3x   -8x  =  -5x

                                                                                               =(2x+1)(3x-4)

Bazı polinomların dereceleri ikiden fazla olmasına rağmen deneme metotu kullanarak çarpanlara ayrılabilir.

 polinomunu ele alırsak tüm terimlerin işaretlaerinin pozitif olduğunu görüyoruz; buradan da çarpanlara ayırdığımız zaman oluşan iki terimlilerin bütün katsayılarının pozitif olması gerekiyor.

nın çarpan          9’un çarpanları            

                        1          9             =                       

                                    3          3                   1                9               +3              +3

                                                                      denemesi orta            

                                                                       terimi vermez

O halde

 

ÖZDEŞLİKLER :

Bazı polinomlar da aşağıdaki özdeşlikleri kullanarak çarpanlarına ayrılır.

İki kare farkı

Tam kare , üç terimli

Küp toplamı-farkı

Toplamın-Farkın küpü

Tam Kare Üç terimli :

    şeklinde gösterebilirsek.

                                             bulunur.

RASYONEL İFADELER

TANIM: P(x) ve Q(x) reel katsayılı iki polinom ve Q(x)≠0 için. biçimindeki ifadelere rasyonel ifadeler denir.

        X  elemanını reel sayılar kümesinden seçersek , paydanın sıfır olduğu haller dışında ,  daima reel değerler verir.

          Yani x R için  reel sayıların bir alt kümesinden ,reel sayılara bir fonksiyon olarak düşünülebilir.

             biçimindeki rasyonel ifadeleri , rasyonel sayılarda olduğu gibi sadeleştirebiliriz .Ancak bunu yaparken  x elemanını tanımsız kabul ediyoruz. bilgiyelpazesi.net

Örnek:    ifadesini sadeleştiriniz.

Çözüm :

RASYONEL İFADELERDE TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMİ

TANIM:  rasyonel ifadesi verilsin.a-)  ifadesine bu iki rasyonel ifadenin toplamıb-) ifadesinde bu iki rasyonel ifadenin farkı denir.

Rasyonel ifadeler toplanır veya çıkarılırken şu işlemler uygulanır ;

  • İfadeler çarpılırken en sade biçimine getirilir.
  • Paydalar eşitlenir.Bunun için paydaların EKOK u bulunur.Her ifade, paydası EKOK olacak şekilde genişletilir.
  • Paydalar toplanıp veya çıkarılıp paya yazılır.Ortak paydada paya yazılır.
  • Bulunan sonuç sadeleşiyorsa tekrar sadeleştirilir.

Örnek  :     işlemini yapınız.

Çözüm  :

      Örnek     :      işlemini yapınız.

     Çözüm

 RASYONEL İFADELERDE ÇARPMA VE BÖLME İŞLEMLERİ

TANIM :  rasyonel ifadeleri verilsin .a-)  rasyonel ifadesine iki rasyonel ifadenin çarpımı;b-)  rasyonel ifadesine iki rasyonel ifadenin bölümü denir.

Rasyonel İfadelerde Çarpma İşlemi Yapılırken ;

  • Verilen ifadeler çarpanlarına ayrılır.
  • Sadeleştirme varsa yapılır.
  • Paylar çarpılıp paya ,paydalar çarpılıp paydaya yazılır.

Rasyonel İfadelerde Bölme İşlemi Yapılırken  ;

  • Birinci ifade aynen yazılır .İkinci ters çevirilir.Sonra çarpma işlemi yapılır.

Örnek  :    işlemini yapınız.

Çözüm:

Örnek  :   işlemini yapınız.

Çözüm:

SORULAR

1-)    x =196 , y = 4  , a = 38 , b = 2 için

          ifadesinin değeri kaçtır?

Çözüm  :  dir

2-)   olduğuna göre  nedir?

 Çözüm :

3-) x ve y pozitif gerçel sayılar olmak üzere ;

            olduğuna göre ,  ifadesinin değeri kaçtır?

         Çözüm :        

                             x ve y pozitif gerçel sayı olduğundan ;

 4-) x pozitif  sayısı gerçel sayı olmak üzere;

        ifadesini değeri kaçtır?

Çözüm :   

  5-)  işleminin sonucu kaçtır ?

Çözüm :  dir.

 6-)  olduğuna göre  = ?

 Çözüm :

7-)      x + y +z = 6

           xy +yz +xz =12 olduğuna göre toplamı kaçtır ? bilgiyelpazesi.net

Çözüm :

 8-)   toplamının en küçük değeri kaçtır ?

  Çözüm :    

 9-)  Şekildeki dairenin yarıçapı r ,dıştaki yarı çapı ise R dir.Dairenin çevrelerinin toplamı

toplamı    olduğuna göre R kaçtır?

Çözüm :

10-)     x<0<y  olmak üzere

                          olduğuna göre y nin değeri nedir?

Çözüm :       

11-)   ise    kaçtır ?

Çözüm :

12-)     olduğuna göre ;

               ifadesinin değeri kaçtır ?

Çözüm :

   13-)  olduğuna göre ,

            ifadesinin değeri kaçtır ?

  Çözüm :

    14-)  ifadesini sadeleşebilen bir kesir olduğuna göre, m in alabileceği değerler                          

             toplamı nedir ?

Çözüm :

           -  Sadeleşebilen bir kesir olduğu için  nin çarpanlarından biri x-4 veya x-2

           -   nin çarpanlarından biri x-4 ise değeri x-3 dür.

           -   olduğundan m = -1 dir.

           -    nin çarpanlarından biri x+2 ise diğeri x-6 dır.

           -     olduğundan  m = -4 tür

           -Buna göre m in alabileceği değerler toplamı  -1-4 = -5 dir

    15-)  ifadesinin sadeleşmiş biçimi nedir?

     Çözüm :

16-)     a +b + c toplamının değeri kaçtır.

Çözüm :

17-) ifadesinin pozitif değeri kaçtır?

Çözüm :

18-)     ifadesinin sonucu kaçtır ?

Çözüm :  

19-) olduğuna göre  ifadesinin sayısal değeri nedir ?

 Çözüm :

20-)  olduğuna göre ,

        kaçtır?

ÇARPANLARA AYIRMA, ÇARPANLARA AYIRMANIN ÖZELLİKLERİ (2) İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR)

A. ORTAK ÇARPAN PARANTEZİNE ALMA

A(x) . B(x) ± A(x) . C(x) = A(x) . [B(x) ± C(x)]

En az dört terimi olan ifadeler ortak çarpan parantezine alınacak biçimde gruplandırılır, sonra ortak çarpan parantezine alınır.

B. ÖZDEŞLİKLER

1. İki Kare Farkı – Toplamı

 I) a2 – b2 = (a – b) (a + b)

II) a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab  ya da

    a2 + b2 = (a – b)2 + 2ab  dir.

2. İki Küp Farkı – Toplamı

   I) a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2 )

  II) a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2 )

 III) a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab (a – b)

IV) a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab (a + b)

3. n. Dereceden Farkı – Toplamı

I) n bir sayma sayısı olmak üzere,

   xn – yn = (x – y) (xn – 1 + xn – 2y + xn – 3 y2 + … + xyn – 2 + yn – 1) dir.

II) n bir tek sayma sayısı olmak üzere,

    xn + yn = (x + y) (xn – 1 – xn – 2y + xn – 3 y2 – … – xyn – 2 + yn – 1) dir.

4. Tam Kare İfadeler

I) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

II) (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

III) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc)

IV) (a + b – c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab – ac – bc)

n bir tam sayı ve a  b olmak üzere,• (a – b)2n = (b – a)2n• (a – b)2n – 1 = – (b – a)2n – 1 dir.
• (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab

5. (a ± b)n nin Açılımı

Pascal Üçgeni

(a + b)n açılımı yapılırken, önce a nın n . kuvvetten başlayarak azalan, b nin 0 dan başlayarak artan kuvvetlerinin çarpımları yazılıp toplanır.

Sonra n nin Paskal üçgenindeki karşılığı bulunarak kat sayılar belirlenir.

(a – b)n yukarıdaki biçimde yapılır ancak b nin; çift kuvvetlerinde terimin önüne (+), tek kuvvetlerinde terimin önüne (–) işareti konulur. bilgiyelpazesi.net

• (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3• (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3• (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 +b4

• (a – b)4 = a4 – 4a3b + 6a2b2 – 4ab3 + b4

C. ax2 + bx + c BİÇİMİNDEKİ ÜÇ TERİMLİNİN ÇARPANLARA AYRILMASI

1. a = 1 için,

b = m + n ve c = m . n olmak üzere,

x2 + bx + c = (x + m) (x + n) dir.

2. a  1 için,

a = m . p , b = m . q + n . p ve c = n . q

olmak üzere,

ax2 + bx + c = (mx + n) (px + q) olur.

Bir Cevap Yazın

Aşağıya bilgilerinizi girin veya oturum açmak için bir simgeye tıklayın:

WordPress.com Logosu

WordPress.com hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Log Out / Değiştir )

Twitter resmi

Twitter hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Log Out / Değiştir )

Facebook fotoğrafı

Facebook hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Log Out / Değiştir )

Google+ fotoğrafı

Google+ hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Log Out / Değiştir )

Connecting to %s

Takip Et

Her yeni yazı için posta kutunuza gönderim alın.

%d blogcu bunu beğendi: